Výpočet vlhkosti vzduchu: všechny vzorce, rovnice a postup krok za krokem

Všechny veličiny vlhkého vzduchu - relativní vlhkost, měrná vlhkost, entalpie, rosný bod - jsou propojeny jedním systémem termodynamických rovnic. Znáte-li libovolné dvě nezávislé veličiny (například teplotu a relativní vlhkost), dopočítáte z nich všechny ostatní. Tento článek předkládá kompletní přehled psychrometrických rovnic s číselnými příklady, aby si čtenář mohl každý výpočet ověřit nebo implementovat v tabulkovém procesoru či programu.

Krok 1: Saturační tlak vodní páry $p_{ws}(t)$

Vše začíná saturačním (nasycovacím) tlakem vodní páry $p_{ws}(t)$ [Pa] - maximálním parciálním tlakem páry při teplotě $t$. Roste s teplotou exponenciálně a je fyzikálním základem celé psychrometrie.

Buckova rovnice (doporučená pro praxi, nad kapalnou vodou):

$$p_{ws}(t) = 611{,}21 \cdot \exp\!\left[\left(18{,}678 - \frac{t}{234{,}5}\right) \cdot \frac{t}{257{,}14 + t}\right] \quad \text{[Pa]}$$

Pro $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $p_{ws} = 611{,}21 \cdot \exp(1{,}342) \approx 2\,338\ \text{Pa}$. Chyba oproti přesným tabulkám IAPWS-95 je < 0,02 % v rozsahu 0–50 °C.

Magnusova aproximace (rychlý odhad):

$$p_{ws}(t) \approx 610{,}78 \cdot \exp\!\left(\frac{17{,}269 \cdot t}{237{,}29 + t}\right) \quad \text{[Pa]}$$

Pro $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $p_{ws} \approx 2\,338\ \text{Pa}$. Chyba oproti Buckově rovnici < 0,1 % pro 0–40 °C - obě aproximace se v tomto rozsahu prakticky kryjí.

Krok 2: Parciální tlak vodní páry $p_w$

$$p_w = \varphi \cdot p_{ws}(t) \quad \text{[Pa]}$$

kde $\varphi$ je relativní vlhkost jako desetinné číslo. Pro $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$ a $\varphi = 0{,}60$: $p_w = 0{,}60 \cdot 2\,338 = 1\,403\ \text{Pa}$.

Krok 3: Měrná vlhkost x

$$x = 0{,}62198 \cdot \frac{p_w}{p_{\text{atm}} - p_w} \quad \text{[kg/kg]}$$

kde $p_{\text{atm}} = 101\,325\ \text{Pa}$. Pro $p_w = 1\,403\ \text{Pa}$:

$$x = 0{,}62198 \cdot \frac{1\,403}{101\,325 - 1\,403} \approx 0{,}00873\ \text{kg/kg} = 8{,}73\ \text{g/kg}$$

Konstanta 0,62198 je poměr molárních hmotností vody a suchého vzduchu (18,015 / 28,966). Ve vysokohorské lokalitě dosaďte skutečný atmosférický tlak, budete překvapeni, jak se liší jednotlivé výstupy výpočtů psychrometrie.

Krok 4: Relativní vlhkost φ z x a teploty

$$\varphi = \frac{x \cdot p_{\text{atm}}}{(0{,}62198 + x) \cdot p_{ws}(t)}$$

Pro $x = 0{,}00873\ \text{kg/kg}$ a $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $\varphi = \dfrac{0{,}00873 \cdot 101\,325}{0{,}63071 \cdot 2\,338} \approx 0{,}600 = 60{,}0\ \%$ - odpovídá vstupní hodnotě.

Krok 5: Entalpie vlhkého vzduchu h

$$h = c_{pa} \cdot t + x \cdot (r_0 + c_{pv} \cdot t) \quad \text{[kJ/kg s.v.]}$$

s $c_{pa} = 1{,}006\ \text{kJ/(kg·K)}$, $c_{pv} = 1{,}860\ \text{kJ/(kg·K)}$ a $r_0 = 2\,501{,}0\ \text{kJ/kg}$:

$$h = 1{,}006 \cdot 20 + 0{,}00873 \cdot (2\,501 + 1{,}860 \cdot 20) = 20{,}12 + 22{,}16 = 42{,}28\ \text{kJ/kg}$$

Hodnota odpovídá tabulkám ASHRAE Fundamentals pro vzduch 20 °C / 60 % RH. Podrobně v článku Entalpie vlhkého vzduchu.

Krok 6: Rosný bod $t_d$

Inverzní Magnusova rovnice, pro $p_w > 611\ \text{Pa}$:

$$t_d = \frac{243{,}04 \cdot \gamma}{17{,}625 - \gamma}, \qquad \gamma = \ln\!\left(\frac{p_w}{610{,}94}\right) \quad \text{[°C]}$$

Pro $p_w = 1\,403\ \text{Pa}$: $\gamma = \ln(1\,403 / 610{,}94) = 0{,}8314$, tedy $t_d = \dfrac{243{,}04 \cdot 0{,}8314}{17{,}625 - 0{,}8314} \approx 12{,}0\ ^{\circ}\text{C}$. Viz rosný bod.

Buckova rovnice se v tomto tvaru invertovat nedá — pro zpětný výpočet teploty z tlaku se používá Magnusova aproximace (17,625 / 243,04), stejně jako v článku o rosném bodu.

Krok 7: Hustota vlhkého vzduchu ρ

$$\rho = \frac{(1 + x) \cdot p_{\text{atm}}}{R_a \cdot T \cdot (1 + 1{,}6078 \cdot x)} \quad \text{[kg/m}^3\text{]}$$

s $R_a = 287{,}058\ \text{J/(kg·K)}$ a absolutní teplotou $T$ [K]. Pro 20 °C / 60 % RH: $\rho \approx 1{,}198\ \text{kg/m}^3$. Hustota vlhkého vzduchu je vždy nižší než suchého (1,205 kg/m³ při 20 °C) - vlhký vzduch je lehčí, což je fyzikální základ konvektivních pohybů v atmosféře.

Člen $(1 + x)$ v čitateli je podstatný: bez něj vyjde měrný objem převrácený na suchý vzduch (1/v ≈ 1,188 kg/m³), ne hustota vlhkého vzduchu. Stejný vztah používá výpočtové jádro PsychroView.

Referenční přehled rovnic

Veličina	Vztah
Saturační tlak	$p_{ws}(t)$ - Buckova nebo Magnusova rovnice
Parciální tlak	$p_w = \varphi \cdot p_{ws}(t)$
Měrná vlhkost	$x = 0{,}62198\,p_w / (p_{\text{atm}} - p_w)$
Relativní vlhkost	$\varphi = x\,p_{\text{atm}} / [(0{,}62198 + x)\,p_{ws}(t)]$
Entalpie	$h = 1{,}006\,t + x\,(2\,501 + 1{,}860\,t)$
Rosný bod	inverzní Magnus z $p_w$
Hustota	$\rho = (1 + x)\,p_{\text{atm}} / [287{,}058\,T\,(1 + 1{,}6078\,x)]$

Interaktivní h-x diagram v PsychroView provádí tyto výpočty okamžitě pro libovolný zadaný stav vzduchu.

Časté dotazy

Kterou rovnici pro saturační tlak zvolit? Pro technickou dokumentaci Buckovu (chyba < 0,02 %). Magnusova je jednodušší a pro většinu inženýrských výpočtů dostatečná (chyba < 0,5 %).

Proč měrnou vlhkost vztahovat na suchý vzduch? Protože hmotnost suchého vzduchu se při přidávání nebo odebírání vlhkosti nemění, což usnadňuje bilanční výpočty. Jednotka je g/kg suchého vzduchu (g/kg s.v.).

Musím přepočítávat vzorce pro jinou nadmořskou výšku? Ano - v rovnicích pro měrnou a relativní vlhkost i hustotu dosaďte skutečný barometrický tlak lokality místo 101 325 Pa.