Výpočet vlhkosti vzduchu: všetky vzorce, rovnice a postup krok za krokom

Všetky veličiny vlhkého vzduchu – relatívna vlhkosť, merná vlhkosť, entalpia, rosný bod – sú prepojené jedným systémom termodynamických rovníc. Ak poznáte ľubovoľné dve nezávislé veličiny (napríklad teplotu a relatívnu vlhkosť), dopočítate z nich všetky ostatné. Tento článok predkladá kompletný prehľad psychrometrických rovníc s číselnými príkladmi, aby si čitateľ mohol každý výpočet overiť alebo implementovať v tabuľkovom procesore či programe.

Krok 1: Saturačný tlak vodnej pary $p_{ws}(t)$

Všetko sa začína saturačným (nasycovacím) tlakom vodnej pary $p_{ws}(t)$ [Pa] – maximálnym parciálnym tlakom pary pri teplote $t$. Rastie s teplotou exponenciálne a je fyzikálnym základom celej psychrometrie.

Buckova rovnica (odporúčaná pre prax, nad kvapalnou vodou):

$$p_{ws}(t) = 611{,}21 \cdot \exp\!\left[\left(18{,}678 - \frac{t}{234{,}5}\right) \cdot \frac{t}{257{,}14 + t}\right] \quad \text{[Pa]}$$

Pre $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $p_{ws} = 611{,}21 \cdot \exp(1{,}342) \approx 2\,338\ \text{Pa}$. Chyba oproti presným tabuľkám IAPWS-95 je < 0,02 % v rozsahu 0–50 °C.

Magnusova aproximácia (rýchly odhad):

$$p_{ws}(t) \approx 610{,}78 \cdot \exp\!\left(\frac{17{,}269 \cdot t}{237{,}29 + t}\right) \quad \text{[Pa]}$$

Pre $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $p_{ws} \approx 2\,338\ \text{Pa}$. Chyba oproti Buckovej rovnici < 0,1 % pre 0–40 °C – obe aproximácie sa v tomto rozsahu prakticky kryjú.

Krok 2: Parciálny tlak vodnej pary $p_w$

$$p_w = \varphi \cdot p_{ws}(t) \quad \text{[Pa]}$$

kde $\varphi$ je relatívna vlhkosť ako desatinné číslo. Pre $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$ a $\varphi = 0{,}60$: $p_w = 0{,}60 \cdot 2\,338 = 1\,403\ \text{Pa}$.

Krok 3: Merná vlhkosť x

$$x = 0{,}62198 \cdot \frac{p_w}{p_{\text{atm}} - p_w} \quad \text{[kg/kg]}$$

kde $p_{\text{atm}} = 101\,325\ \text{Pa}$. Pre $p_w = 1\,403\ \text{Pa}$:

$$x = 0{,}62198 \cdot \frac{1\,403}{101\,325 - 1\,403} \approx 0{,}00873\ \text{kg/kg} = 8{,}73\ \text{g/kg}$$

Konštanta 0,62198 je pomer molárnych hmotností vody a suchého vzduchu (18,015 / 28,966). Vo vysokohorskej lokalite dosaďte skutočný atmosférický tlak, budete prekvapení, ako veľmi sa jednotlivé výsledky psychrometrických výpočtov líšia.

Krok 4: Relatívna vlhkosť φ z x a teploty

$$\varphi = \frac{x \cdot p_{\text{atm}}}{(0{,}62198 + x) \cdot p_{ws}(t)}$$

Pre $x = 0{,}00873\ \text{kg/kg}$ a $t = 20\ ^{\circ}\text{C}$: $\varphi = \dfrac{0{,}00873 \cdot 101\,325}{0{,}63071 \cdot 2\,338} \approx 0{,}600 = 60{,}0\ \%$ – zodpovedá vstupnej hodnote.

Krok 5: Entalpia vlhkého vzduchu h

$$h = c_{pa} \cdot t + x \cdot (r_0 + c_{pv} \cdot t) \quad \text{[kJ/kg s.v.]}$$

s $c_{pa} = 1{,}006\ \text{kJ/(kg·K)}$, $c_{pv} = 1{,}860\ \text{kJ/(kg·K)}$ a $r_0 = 2\,501{,}0\ \text{kJ/kg}$:

$$h = 1{,}006 \cdot 20 + 0{,}00873 \cdot (2\,501 + 1{,}860 \cdot 20) = 20{,}12 + 22{,}16 = 42{,}28\ \text{kJ/kg}$$

Hodnota zodpovedá tabuľkám ASHRAE Fundamentals pre vzduch 20 °C / 60 % RH. Podrobne v článku Entalpia vlhkého vzduchu.

Krok 6: Rosný bod $t_d$

Inverzná Magnusova rovnica, pre $p_w > 611\ \text{Pa}$:

$$t_d = \frac{243{,}04 \cdot \gamma}{17{,}625 - \gamma}, \qquad \gamma = \ln\!\left(\frac{p_w}{610{,}94}\right) \quad \text{[°C]}$$

Pre $p_w = 1\,403\ \text{Pa}$: $\gamma = \ln(1\,403 / 610{,}94) = 0{,}8314$, teda $t_d = \dfrac{243{,}04 \cdot 0{,}8314}{17{,}625 - 0{,}8314} \approx 12{,}0\ ^{\circ}\text{C}$. Pozri rosný bod.

Buckova rovnica sa v tomto tvare invertovať nedá — pre spätný výpočet teploty z tlaku sa používa Magnusova aproximácia (17,625 / 243,04), rovnako ako v článku o rosnom bode.

Krok 7: Hustota vlhkého vzduchu ρ

$$\rho = \frac{(1 + x) \cdot p_{\text{atm}}}{R_a \cdot T \cdot (1 + 1{,}6078 \cdot x)} \quad \text{[kg/m}^3\text{]}$$

s $R_a = 287{,}058\ \text{J/(kg·K)}$ a absolútnou teplotou $T$ [K]. Pre 20 °C / 60 % RH: $\rho \approx 1{,}198\ \text{kg/m}^3$. Hustota vlhkého vzduchu je vždy nižšia než suchého (1,205 kg/m³ pri 20 °C) – vlhký vzduch je ľahší, čo je fyzikálny základ konvektívnych pohybov v atmosfére.

Člen $(1 + x)$ v čitateli je podstatný: bez neho vyjde merný objem prevrátený na suchý vzduch (1/v ≈ 1,188 kg/m³), nie hustota vlhkého vzduchu. Rovnaký vzťah používa výpočtové jadro PsychroView.

Referenčný prehľad rovníc

Veličina	Vzťah
Saturačný tlak	$p_{ws}(t)$ – Buckova alebo Magnusova rovnica
Parciálny tlak	$p_w = \varphi \cdot p_{ws}(t)$
Merná vlhkosť	$x = 0{,}62198\,p_w / (p_{\text{atm}} - p_w)$
Relatívna vlhkosť	$\varphi = x\,p_{\text{atm}} / [(0{,}62198 + x)\,p_{ws}(t)]$
Entalpia	$h = 1{,}006\,t + x\,(2\,501 + 1{,}860\,t)$
Rosný bod	inverzný Magnus z $p_w$
Hustota	$\rho = (1 + x)\,p_{\text{atm}} / [287{,}058\,T\,(1 + 1{,}6078\,x)]$

Interaktívny h-x diagram v PsychroView vykonáva tieto výpočty okamžite pre ľubovoľný zadaný stav vzduchu.

Časté otázky

Ktorú rovnicu pre saturačný tlak zvoliť? Pre technickú dokumentáciu Buckovu (chyba < 0,02 %). Magnusova je jednoduchšia a pre väčšinu inžinierskych výpočtov dostatočná (chyba < 0,5 %).

Prečo mernú vlhkosť vzťahovať na suchý vzduch? Pretože hmotnosť suchého vzduchu sa pri pridávaní alebo odoberaní vlhkosti nemení, čo uľahčuje bilančné výpočty. Jednotka je g/kg suchého vzduchu (g/kg s.v.).

Musím prepočítavať vzorce pre inú nadmorskú výšku? Áno – v rovniciach pre mernú a relatívnu vlhkosť aj hustotu dosaďte skutočný barometrický tlak lokality namiesto 101 325 Pa.